Unidad 3 — Mini-evaluación (10 ítems)

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  1. (Contexto) Nombrá dos áreas donde la trigonometría sea central y describí brevemente un ejemplo de uso en cada una.
  2. (Conversión) Convertí: a) \(120^\circ\) a radianes · b) \( \tfrac{3\pi}{5} \) rad a grados · c) \(0{,}4\) rad a grados.
  3. (Relaciones) Indicá si son complementarios, suplementarios o ninguno: a) \(25^\circ\) y \(65^\circ\) · b) \(140^\circ\) y \(40^\circ\) · c) \(95^\circ\) y \(85^\circ\).
  4. (Coterminales) Dado \( \theta = -30^\circ \), escribí dos ángulos coterminales (uno positivo y otro negativo).
  5. (Pitágoras) Un triángulo rectángulo tiene catetos 6 y 8. Hallá la hipotenusa.
  6. (Razones) En un triángulo rectángulo, para \( \theta \) agudo, el cateto opuesto mide 9 y la hipotenusa 15. Calculá \( \sin\theta, \cos\theta, \tan\theta \).
  7. (Aplicación) Una escalera apoya a 4,5 m de altura formando \(60^\circ\) con el suelo. ¿Qué longitud tiene?
  8. (Cuadrantes) Determiná el cuadrante de: a) \(210^\circ\) · b) \( -75^\circ \) · c) \( \tfrac{5\pi}{6} \).
  9. (Valores notables) Usando el círculo unitario, evaluá: a) \( \sin 45^\circ \) · b) \( \cos 60^\circ \) · c) \( \tan 30^\circ \).
  10. (Identidades) Si \( \cos\theta = \tfrac{3}{5} \) y \( \theta \) está en el **IV** cuadrante, hallá \( \sin\theta \) y \( \tan\theta \).
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  1. Ejemplos: Astronomía (determinar posiciones/alturas); Ingeniería civil (pendientes y alturas); Electrónica (señales periódicas); Robótica (trayectorias), etc.
  2. a) \(120^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \tfrac{2\pi}{3}\) rad · b) \( \tfrac{3\pi}{5} \cdot \tfrac{180}{\pi} = 108^\circ \) · c) \(0{,}4 \cdot \tfrac{180}{\pi} \approx 22{,}918^\circ\).
  3. a) Complementarios (suman \(90^\circ\)). · b) Suplementarios (suman \(180^\circ\)). · c) Suplementarios.
  4. \( -30^\circ + 360^\circ = 330^\circ \) (positivo); \( -30^\circ - 360^\circ = -390^\circ \) (negativo).
  5. Hipotenusa \(c = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\).
  6. \(\sin\theta = 9/15 = 3/5\). Entonces \( \cos\theta = \sqrt{1-(3/5)^2} = 4/5 \) (ángulo agudo). \( \tan\theta = (3/5)/(4/5) = 3/4.\)
  7. \( \sin 60^\circ = \tfrac{\text{altura}}{L} = 4{,}5/L \Rightarrow L = \tfrac{4{,}5}{\sin 60^\circ} = \tfrac{4{,}5}{\sqrt{3}/2} = 3\sqrt{3} \approx 5{,}196 \,\text{m}. \)
  8. a) \(210^\circ\) → **III** · b) \(-75^\circ\) → **IV** · c) \( \tfrac{5\pi}{6} = 150^\circ \) → **II**.
  9. \(\sin 45^\circ = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\) · \(\cos 60^\circ = \tfrac{1}{2}\) · \(\tan 30^\circ = \tfrac{1}{\sqrt{3}}\).
  10. \(\cos\theta = 3/5\) y \( \theta\in \text{IV} \Rightarrow \sin\theta < 0\). \( \sin\theta = -\sqrt{1-(3/5)^2} = -4/5 \). \( \tan\theta = \sin/\cos = (-4/5)/(3/5) = -4/3.\)
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