Unidad 1 · Bloque D — Multiplicación y división de números reales

Reglas de signos, inversas multiplicativas, fracciones y atajos para simplificar con seguridad.

Objetivos del Bloque D

1) Regla de los signos

(+)(+) = +    (−)(−) = +

(+)(−) = −    (−)(+) = −

Vale igual para división.

2) Inversa multiplicativa

Para a ≠ 0, su inversa multiplicativa es \(\frac{1}{a}\) y cumple: \(a · \frac{1}{a}\) = 1.

Definimos la división como: \(a ÷ b = a · (\frac{1}{b})\), con b ≠ 0.

Dividir por cero no está definido.

3) Cero en productos

a·0 = 0·a = 0 (para todo a). Si a·b = 0, entonces a = 0 o b = 0.

En una fracción, el denominador jamás puede ser 0.

Ejemplo A

(−6) · (−4) = +24

Ejemplo B

(−15) ÷ 3 = −5

Ejemplo C

7 ÷ (\(\frac{−1}{2}\)) = 7 · (−2) = −14

Multiplicación y división de fracciones

Multiplicación

\(\frac{a}{b} × \frac{c}{d} = \frac{a·c}{b·d}\), con b,d ≠ 0.

Tip: simplificá antes si hay factores comunes entre numeradores y denominadores.

Ejemplo: \(\frac{12}{35} × \frac{7}{6}\)

Podemos dividir 12 y 6 por 6 → \(\frac{2}{1}\). También 7 y 35 por 7 → \(\frac{1}{5}\).

Resultado: \(\frac{2}{1} × \frac{1}{5} = \frac{2}{5}\).

División

\(\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} × \frac{d}{c} = \frac{a·d}{b·c}\), con b,c,d ≠ 0.

Ejemplo: \(\frac{9}{8} ÷ \frac{6}{7}\)

Convertimos a producto: \(\frac{9}{8} × \frac{7}{6}\). Simplificamos 9 y 6 dividiendo por 3 → \(\frac{3}{2}\).

Resultado: \(\frac{3×7}{2×8} = \frac{21}{16}\).

Errores típicos a evitar
  • \(\frac{a}{b} × \frac{c}{d} ≠ \frac{a+c}{b+d}\) ← esto está mal.
  • En una división, recordá multiplicar por la inversa multiplicativa: \(\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} × \frac{d}{c}\).
  • No “tachar” en sumas: \(\frac{a + b}{b}\) no se simplifica, salvo que factorizemos b como factor común.

Distributiva y control de signos

−2(x − 3) = −2x + 6

(a − b)(a + b) = a2 − b2

\(\frac{3}{4}(x + 2) = \frac{3}{4}x + \frac{3}{2}\)

\(5 · \frac{2x − 6}{3} = \frac{10x − 30}{3}\) → si factorizás 10x − 30 = 10(x − 3), se puede simplificar con 3 si hay factor común arriba y abajo.

Mini-actividad 1 · Regla de signos

  1. (−7) · 5
  2. (−12) ÷ (−3)
  3. 8 ÷ (−2)
  4. (−4) · (−3) · (−2)
  5. (−15) ÷ (1/3)
Mostrar soluciones
  1. −35
  2. +4
  3. −4
  4. Producto de tres negativos: (−·−)=+, +·(−)=− → −24
  5. −15 × 3 = −45

Mini-actividad 2 · Fracciones

  1. \(\frac{4}{9} × \frac{27}{8}\)
  2. \(\frac{5}{12} ÷ \frac{25}{18}\)
  3. \(\frac{14}{15} × \frac{9}{7}\)
  4. \(\frac{3x}{10} ÷ \frac{9}{5}\)
  5. \(\frac{2a − 6}{8}\) × 12
Mostrar soluciones paso a paso
  1. \(\frac{4×27}{9×8}\). Dividí 27 y 9 por 9 → 3; dividí 4 y 8 por 4 → 1 y 2. Resultado: \(\frac{3}{2}\).
  2. \(\frac{5}{12} × \frac{18}{25}\). Simplificá 5 con 25 → \(\frac{1}{5}\). Queda \(\frac{18}{12×5} = \frac{18}{60} = \frac{3}{10}\).
  3. \(\frac{14}{15} × \frac{9}{7}\). Simplificá 14 con 7 → \(\frac{2}{1}\). Queda \(\frac{2×9}{15} = \frac{18}{15} = \frac{6}{5}\).
  4. \(\frac{3x}{10} × \frac{5}{9} = \frac{15x}{90} = \frac{x}{6}\).
  5. \(\frac{2(a − 3)}{8} × 12 = \frac{a − 3}{4} × 12 = 3(a − 3) = 3a − 9\).

Mini-actividad 3 · Distributiva y simplificación

  1. −3(2x − 5) + 6x
  2. \(\frac{5}{6}(3y − 9)\)
  3. \(\frac{7a − 21}{14}\)
  4. \(\frac{2}{3}x − \frac{5}{6}x\)
  5. \(4·\frac{x+2}{8} + \frac{x+2}{4}\)
Mostrar soluciones
  1. −6x + 15 + 6x = 15
  2. \(\frac{5}{6}·3y − \frac{5}{6}·9 = \frac{5y}{2} − \frac{15}{2}\)
  3. \(\frac{7(a − 3)}{14} = \frac{a − 3}{2}\)
  4. \(\frac{4}{6}x − \frac{5}{6}x = −\frac{1}{6}x = −\frac{x}{6}\)
  5. \(\frac{4}{8}(x+2) + \frac{1}{4}(x+2) = \frac{1}{2}(x+2) + \frac{1}{4}(x+2) = \frac{3}{4}(x+2)\)

Para seguir

En el próximo capítulo: Fracciones equivalentes, MCD y MCM (métodos prácticos y ejercicios interactivos).

⬅️ Bloque C Continuá Pedaleando Bloque E ➡️