Unidad 1 · Bloque F — Operaciones con fracciones

Multiplicar, dividir, sumar y restar fracciones con seguridad: regla cruzada y uso del MCM.

Objetivos del Bloque F

Multiplicación

\(\frac{a}{b} × \frac{c}{d} = \frac{a·c}{b·d}\), con b,d ≠ 0.

Tip: si podés, simplificá antes (dividí numerador y denominador por un mismo número).

Ej.: \(\frac{12}{35} × \frac{7}{6} → \frac{12÷6}{6÷6} = \frac{2}{1}\) y \(\frac{7}{35} = \frac{1}{5}\) → \(\frac{2}{5}\)

División

\(\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} × \frac{d}{c} = \frac{a·d}{b·c}\), con b,c,d ≠ 0.

Ej.: \(\frac{9}{8} ÷ \frac{6}{7} = \frac{9}{8} × \frac{7}{6}\) → \(\frac{9÷3}{6÷3}=\frac{3}{2}\) y \(\frac{7}{8}\) → \(\frac{3·7}{2·8}=\frac{21}{16}\)

Suma y resta de fracciones

1) Igual denominador

\(\frac{a}{b} ± \frac{c}{b} = \frac{a ± c}{b}\)

Ej.: \(\frac{3}{7} + \frac{5}{7} = \frac{3+5}{7} = \frac{8}{7}\)

2) Distinto denominador (dos métodos)

Regla cruzada: \(\frac{a}{b} ± \frac{c}{d} = \frac{a·d ± b·c}{b·d}\)

Con MCM: Denominador común = mcm(b,d). Ajustar cada numerador.

Ej. (cruzada): \(\frac{2}{3} + \frac{5}{4} = \frac{2·4 + 3·5}{3·4} = \frac{8+15}{12} = \frac{23}{12}\)
Ej. (MCM): \(\frac{3}{16} + \frac{5}{24} , mcm(16,24)=48 → \frac{3×3}{48} + \frac{5×2}{48} = \frac{9}{48} + \frac{10}{48} = \frac{19}{48}\)
Errores típicos (evitar)
  • \(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} ≠ \frac{a+c}{b+d}\) ← esto está mal.
  • No se “cancela” en sumas/restas: \(\frac{a + b}{b}\) no se simplifica, salvo que haya factor común.
  • Recordá: el denominador jamás puede ser 0.

Cómo hallar el MCM (versión práctica)

  1. Descomponé b y d en factores primos.
  2. Tomá cada primo con el mayor exponente que aparezca.
  3. Multiplicá esos factores: eso es el MCM.
Ej.: \(b=16=2^4\), \(d=24=2^3·3\) → \(MCM=2^4·3=48\).

Ejemplo 1 — Suma

\(\frac{5}{12} + \frac{7}{18}\). MCM(12,18)=36.

\(\frac{5}{12} = \frac{5×3}{36} = \frac{15}{36}\); \(\frac{7}{18} = \frac{7×2}{36} = \frac{14}{36} → \frac{29}{36}\).

Ejemplo 2 — Resta

\(\frac{3}{8} − \frac{5}{12}\). MCM(8,12)=24.

\(\frac{3}{8} = \frac{3×3}{24} = \frac{9}{24}\); \(\frac{5}{12} = \frac{5×2}{24} = \frac{10}{24}\) → \(\frac{9−10}{24} = −\frac{1}{24}\).

Ejemplo 3 — Expresión mixta

\(\frac{2}{3}x − \frac{5}{6}x = \frac{4}{6} − \frac{5}{6}x = −\frac{1}{6}x = −\frac{x}{6}\).

Mini-actividad 1 · Multiplicación y división

  1. \(\frac{4}{9} × \frac{27}{8}\)
  2. \(\frac{5}{12} ÷ \frac{25}{18}\)
  3. \(\frac{14}{15} × \frac{9}{7}\)
  4. \(\frac{3x}{10} ÷ \frac{9}{5}\)
  5. \(\frac{2a−6}{8} × \frac{1}{2}\)
Mostrar soluciones
  1. \(\frac{4}{9} × \frac{27}{8} = \frac{4×27}{9×8}\). Simplificando por 9 y 4 → \(\frac{3}{2}\).
  2. \(\frac{5}{12} ÷ \frac{25}{18} = \frac{5}{12} × \frac{18}{25}\) → simplificar 5 y 25 → \(\frac{18}{60} = \frac{3}{10}\).
  3. \(\frac{14}{15} × \frac{9}{7}\) → simplificar 14 y 7 → \(\frac{9}{15} = \frac{3}{5}\).
  4. \(\frac{3x}{10} × \frac{5}{9} = \frac{15x}{90} = \frac{x}{6}\).
  5. \(\frac{2(a−3)}{8} × 12 = \frac{a−3}{4} × 12 = 3(a−3) = 3a − 9\).

Mini-actividad 2 · Suma y resta

  1. \(\frac{7}{10} + \frac{11}{15}\)
  2. \(\frac{5}{12} − \frac{1}{8}\)
  3. \(\frac{3}{5} + \frac{2}{7}\)
  4. \(\frac{9}{14} − \frac{4}{21}\)
  5. \(\frac{x}{3} + \frac{x}{4}\)
Mostrar soluciones
  1. MCM(10,15)=30 → \(\frac{21}{30} + \frac{22}{30} = \frac{43}{30}\).
  2. MCM(12,8)=24 → \(\frac{10}{24} − \frac{3}{24} = \frac{7}{24}\).
  3. MCM(5,7)=35 → \(\frac{21}{35} + \frac{10}{35} = \frac{31}{35}\).
  4. MCM(14,21)=42 → \(\frac{27}{42} − \frac{8}{42} = \frac{19}{42}\).
  5. MCM(3,4)=12 → \(\frac{4x}{12} + \frac{3x}{12} = \frac{7x}{12}\).

Mini-actividad 3 · ¿Cruzada o MCM?

Elegí el método más cómodo y resolvé:

  1. \(\frac{2}{3} + \frac{1}{6}\)
  2. \(\frac{5}{8} − \frac{3}{4}\)
  3. \(\frac{4}{9} + \frac{7}{12}\)
Mostrar soluciones
  1. MCM(3,6)=6 → \(\frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\).
  2. MCM(8,4)=8 → \(\frac{5}{8} − \frac{6}{8} = −\frac{1}{8}\).
  3. MCM(9,12)=36 → \(\frac{16}{36} + \frac{21}{36} = \frac{37}{36}\).

Para seguir

Próximo capítulo: Decimales y fracciones — convertir decimales finitos y periódicos a fracción y viceversa.

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