Unidad 2 · Bloque E — Fracciones algebraicas
Cuando el numerador y/o denominador son expresiones algebraicas, las reglas de fracciones siguen valiendo con atención a los ceros del denominador.
Objetivos
- Comprender el concepto de fracción algebraica y su dominio.
- Aprender a simplificar dividiendo por factores comunes.
- Aplicar operaciones (× ÷ + −) entre fracciones algebraicas.
1️⃣ Definición y dominio
Una fracción algebraica es una expresión de la forma \(\frac{A(x)}{B(x)}\), donde \(A\) y \(B\) son polinomios y \(B(x)\neq0\).
Ejemplo 1: \(\frac{3x+6}{x^2-4}\) Ejemplo 2: \(\frac{2a^2-8a}{a^2+a-6}\)
El dominio excluye los valores que anulan \(B(x)\).
2️⃣ Simplificación
Se factorizan numerador y denominador y se eliminan factores comunes (no términos, solo factores).
Ejemplo: \(\frac{3x+6}{x^2-4}=\frac{3(x+2)}{(x+2)(x-2)}=\frac{3}{x-2}\), con \(x\neq\pm2\).
3️⃣ Multiplicación y división
- Multiplicación: \(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\)
- División: \(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}\)
Ejemplo: \(\frac{2x}{3y}\times\frac{9y^2}{4x^2}=\frac{18y}{12x}=\frac{3y}{2x}\)
4️⃣ Suma y resta
Requieren denominador común (igual que las fracciones numéricas).
Ejemplo: \(\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}=\frac{x+2}{x^2}\)
Si los denominadores son distintos, usamos el mínimo común múltiplo (MCM).
Ejemplo: \(\frac{3}{x+1}-\frac{2}{x}\) → MCM = \(x(x+1)\) → \(\frac{3x-2(x+1)}{x(x+1)}=\frac{x-2}{x(x+1)}\)
5️⃣ Restricciones del dominio
Recordá indicar qué valores anulan el denominador y por tanto no pertenecen al dominio de la fracción.
Ejemplo: \(\frac{2x-1}{x^2-9}\) → \(x\neq3\), \(x\neq-3\).
Mini-actividad · Simplificación y operaciones
- \(\frac{4x^2-12x}{8x}\)
- \(\frac{x^2-9}{x-3}\)
- \(\frac{a^2-b^2}{a-b}\)
- \(\frac{3x}{x+2}+\frac{2}{x+2}\)
- \(\frac{x^2-4}{x^2-x-6}\)
Mostrar soluciones
- \(\frac{4x^2-12x}{8x}=\frac{4x(x-3)}{8x}=\frac{x-3}{2}\)
- \(\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\), con \(x\neq3\)
- \(\frac{a^2-b^2}{a-b}=a+b\), con \(a\neq b\)
- Denominador común \(x+2\): \(\frac{3x+2}{x+2}\)
- \(\frac{x^2-4}{x^2-x-6}=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-3)(x+2)}=\frac{x-2}{x-3}\), con \(x\neq-2,3\)
Resumen de la Unidad 2
- El lenguaje algebraico permite representar problemas generales con letras.
- La factorización es la herramienta clave para simplificar y resolver expresiones.
- Las fracciones algebraicas siguen las mismas reglas que las numéricas, con atención al dominio.
🎯 Siguiente tema: Ecuaciones y sistemas algebraicos — cómo resolver expresiones igualadas a cero y modelar situaciones reales.